力と慣性抗力の矛盾について

 

On The Contradiction of Force and Force of Inertia

 

飯田洋治

1979.4.11

 

　はじめに

 

　ニュートンの運動方程式Ｆ＝ｍａでは異なった質の量が等号で結ばれている，これは一つの矛盾ではないか？⁽¹⁾『資本論』におけるリンネルと上着という異なった質の量が等価交換されるときの商品分析の方法が，ニュートンの運動方程式の分析においてどこまで通用するのか，このことが私にとってのかなり以前からの関心事であった。

　一方数年前より「力学の弁証法」をめぐる論争が行われてきたが，未だ力学の弁証法的しくみを明確にあばきだすことに成功していないように思われる。⁽²⁾菅野礼司氏の論文「力学における矛盾概念について」⁽³⁾を読み，氏と若干の意見を交わすことによって，私の考えのあいまいであった部分がかなりはっきりしてきた。

　一体，力学的運動の中に矛盾が存在するとすれば，何がその矛盾を構成しているのか，そしてこの矛盾は力学的運動の中にどう位置付けられ関連付けられるものか，私はできるだけ現実の力学的運動の中からその矛盾の構造をさぐりだすという観点で分析をすすめたい。

　この論文は次のような構成となっている。

(１) 力の概念：　ニュートンの運動方程式における外力の概念が運動にたいして独立した概念として規定されること

(２) 慣性抗力：　外力が働いて物体が加速度運動をするとき，この加速度運動に逆らう傾向を生ずるが，これを慣性抗力とよぶ。これは加速度系から見たとき慣性力として表わされる力であるが，慣性系においてはこれを力として“陽”に表現できないものである。⁽⁴⁾したがって慣性抗力は力の概念とは異質なものである。しかし，これは相互作用の過程で外力として発現する（対象化される）ものであり，慣性系から見たときの加速度運動にのみ考えられる概念で，慣性概念・慣性質量概念とは明確に区別して使っている。

(３) 慣性抗力概念は，歴史的にはニュートンが第二法則を定式化する以前，衝突問題を扱っていた時期にすでに明確にとらえていた概念であることを明らかにする。

(４) 慣性系においては，衝突のような相互作用の過程で，一方の物体の慣性抗力が他方の物体の外力として陽に対象化される。この対象化の機構を運動量保存の法則を前提として分析する。

(５) 慣性抗力は慣性系から見れば力ではない。しかし，加速度系から見れば慣性力として外力に転化する（慣性力として発現する）。力と慣性抗力，重力質量と慣性質量は観測系（加速度系）を変えるだけで相互に入れ代わるものであることを示す。

(６) そして，最後の万有引力と慣性抗力においては，加速度運動に逆らう慣性抗力が生む加速度は，加速度系においては重力場の強さに帰着してしまうことを論じる。

 

 

　１　力の概念

　　　　　

　力とは一体どのようなものをさして“力”と呼んでいるのであろうか。自然界には，万有引力，クーロン力，ローレンツ力や核力などいろいろの種類の力がある。これらの力はどのような原因によって生じる力であるにせよ，いったん力として表わされればこれらの力はその具体的種類に関係なく，力としては質的に全く同じ力である。⁽⁵⁾少なくともこれらのどういう力を作用させても質量のあるものの運動状態を変えることに変りはない。だから加速度が生じるという力学的効果があれば，それだけで確実に“力”が働いたといえる。このように力の概念は具体的種類によって生ずるものでありながら，同じ力学的効果をひきおこすという点で同質のものであり，力の種類から独立に抽象された概念である。

　したがって物体が質量と電気量を合わせ持っておりさえすれば，クーロン力と重力で物体を釣り合わせることも可能である。（例；油滴に働く重力とクーロン力をつりあわせたミリカンの油滴実験）。このように力の種類を問わず力としては質的に同じ力であるために，力学における力Ｆは，異なる階層にまで通用する広い適用範囲持っている。

　しかし，このような力学的効果そのものが力の概念ではない。力が働いていてもこれらがつり合っておれば運動状態は変わらない。したがって「運動状態の変化即力」ではない。運動状態の変化という力学的効果から独立した力の概念があって，運動状態の変化によってこれから独立した力を判別しているにすぎない。このように力の概念は力学的効果によって判別できるものであるが，その力学的効果からも独立に抽象された概念である。

　この力の概念は歴史的には静力学において確立された力の概念と同じものである。２つの物体が互いに静力学的に相互作用をしていたり，１つの物体がつりあっている場合，これに働く力は物体が運動しているかどうかに関わりなく，またどれだけの質量の物体であるかにも一切関わりなく決まる力である。つまり弾性体であれば，弾性変形を起すということだけで判別できる力である。この弾性変形を起す力は同時に物体の速度変化を起す力なのである。

　したがって，力の概念はたとえそれがローレンツ力のように場の運動（速度）に依存して生ずる力であっても，力としては運動から独立した概念である。また，物体の速度変化という力学的効果からも独立した概念である。つまり，力の種類や力の効果から独立に抽象された概念が力の概念である。

　今，運動する２つの物体ＫとＫ'が衝突し相互作用する場合を考えよう（図１）。ＫはＫ'に衝突することによって，Ｋ'より ｆ の力を受け，Ｋの質量ｍを媒介としてａの加速度運動を始める。この場合の力 ｆ は今まで述べてきたように，力としては力の種類や，その効果を問わず，またＫの加速度ａや質量ｍとも独立にＫがＫ'からうけとる外力である。

　もちろん，当の物体Ｋ内に力 ｆ を受け止める質があって，この質が力 ｆ を受け止めた，つまり「一見外的ものに見える作用もその物体に力として働くのはその物質自身の内的質の反映である」⁽⁶⁾と菅野氏が指摘される通りである。「電場のなかで力を受ける物体は帯電体であって電気的に中性な物体は力を受けない。電場や重力場のような外的条件が存在しても，当の物質内にそれを受け止める質がなければ，その外的条件は力として発現しえない。したがって，その物質に力が作用するのは，その物質の内的質が外的条件を受け止めた結果である」⁽⁶⁾。

　要するに，力の概念は力の種類や力の効果から独立に抽象された概念であって，たとえ運動物体に働いている力であっても力としては運動にたいして独立した概念なのである。

 

 

　２　慣性抗力

　

　さてこのような力 ｆ を受け止めた物体Ｋは，どのような内的質によってａの加速度運動をするようになるのであろうか。

　物体に力が働いて速度変化が生ずると，その変化に逆らう力学的効果が働く。この効果を規定するものは何であるのか。これは運動している物体自身にある内部の量であって，これを物体の外部に求めることはできない。

　そこで物体内部の量で変化に逆らうものは何であるかを検討してみることにする。

　まず物体内部に固有な重力質量について考えてみよう。これは，物体の運動と全く関わりなく決まる量（万有引力の源としての質量）であり，むしろいかなる運動とも関わりなく規定されるところにその特徴があり，この質量は重力を規定するものである。速度変化に逆らう量とは関係がない。

　また，慣性は質的規定であっても量的規定がされていない概念である。⁽⁷⁾それにたいして慣性質量は「加速度を与えて初めて認識されかつ規定される量」⁽⁸⁾であり，力や重力質量とは対照的に加速度運動のみに依存して規定される量である。そして物体内部の固有の量でもあり，明らかに変化に逆らう量としての条件を満たしている。しかし慣性質量はスカラー量であり，運動の方向まで含んでそのすべてを規定することはできないのである。

　慣性系から見ているとしよう。力が働くと物体は加速度運動をするが，このとき速度変化に逆らう働きは加速度運動をしている物体自身の内部に生ずる。だから加速度運動をする物体に付随した系（加速度系）からしか速度変化に逆らえないのである。物体にとっては慣性系から速度変化に逆らうわけにはいかないのである。つまり，加速度運動をしている物体はその加速度系内から加速度運動に逆らうのである。この条件を満たすものは慣性力−ｍａ以外にありえない。しかも，速度変化に逆らう方向は必ず力や加速度の反対方向となっている。ところがここでやっかいなことが起る。速度変化に逆らうという物理的働きは加速度系内でしか起きないのに，それを見ているのは慣性系なのである。加速度系から見れば慣性力−ｍａでよいが慣性系から見ればもはやこれを慣性力ということはできない。しかし慣性系から見ようが加速度系から見たときの慣性力が速度変化に逆らっていることには変わりない。そこで慣性力の慣性系から見たときの働きを特に慣性抗力といって慣性力と区別することにする。物体に付随した加速度系からしか加速度運動に逆らえないのに，むりやり慣性系から見るので慣性抗力などという概念が必要となるわけである。つまりこの概念は慣性力のように顕在化した力として陽に表現出来ない潜在化したものである。だからここでいう慣性抗力は顕在化すれば外力と同じものとなるのであるが，顕在化しない以上外力とは全く異質のものである。だから慣性抗力と力がつりあうなどということはありえないのである。

 

 

　３　慣性抗力に対するニュートンのとらえ方

 

　ニュートンは慣性抗力に相当する量をどのようにとらえていたのだろうか。寺岡英男氏の分析を引用しよう。

 

　　この力と運動の矛盾について，ニュートンは第二法則定式化以前の主に衝突問題を扱っていた時期にすでに明確に捉えていたことが当時の手稿(MS. Add. 4004. folis 12-13)から読みとれる。たとえばその中でニュートンは，…2物体の弾性衝突を取り上げ…運動量変化をひきおこす起因としての能力(power)を力に関連づけ…この能力（力）のことを物体の状態を変えようとする作用(Indeavour)とするとし，さらに質量と速さの等しい物体a，bの衝突を問題にして次のようにいう。

 

　　　"物体aと物体ｂが衝突するとき，aの進行を妨げる原因はbが自身の速度あるいは状態を保とうとする能力であり，その能力は通常物体bの力と呼ばれる。そして，物体bがこの力をaの進行を阻止しようとして用いるとき，この力はaの進行を妨げる作用(Indeavour)とよばれ，物体内のaの進行を推進するところの傾向(endeavour)は圧力によって現に遂行されたものである。…”⁽*⁾  

                

   　ここで注意したいのは，この引用文が次の二つの重要な内容を含んでいることである。一つは，物体がその状態を保存しようとする力（すなわち『プリンキピア』の定義�Vでいう「固有力」あるいは「慣性力」）と，物体の状態を変えようとする力(作用）とが明確に区別され，しかもこれらの二つの力が衝突する瞬間において同一物体内で相対立する矛盾として把握されていることである。いま一つは，これら二つの力は他物体の進行を妨げる同一の原因であり，それを異なる観点から表現したものだということである。すなわち，物体aの運動変化を生じさせる原因である物体bの運動の，物体bに即した表現としてはｂがその状態を保とうとする能力であり，他方物体aに即した表現としては物体の状態を変えようとするbの作用となる。そして，この二つの力の物体aの進行を妨げる原因としての同一性において，運動と力の等質性が明確に示されているのである。⁽⁹⁾  

　   ⁽*⁾  John Herivel "The Background to Newton's Principia" Oxford University Press. 1965　p156(Ax106)

 

　寺岡氏の分析の通り，ニュートンにとって，�@自身の状態を保とうとして持っている“物体ｂの力”(force of body b) がaの進行を妨げる原因であり，�Aこの力をaの進行を妨げるために用いると，aに及ぼす ｂの“作用”(indeavour)となる。そしてこの2つの力はaの進行を妨げる力としては同じ(大きさも向きも等しい）であるが，“物体bの力”は物体 ｂ自身が本来持ち合わせている力であって，bに属する力であり，b がaに対してしでかすことのできる原因としての力である。それに対して“作用”の方はaに属する力であり，aが ｂから“物体 ｂの力”をうけとめた結果としての力なのである。つまり，ニュートンはaの運動を妨げるものとして“物体bの力”が実在のものとして現に物理的役割を果たしているが故に，その結果として“物体bの力”がaに対して力（作用）として対象化されるものと考えている。

　と同時にニュートンは，�B ｂがａの進行を妨げようとしてａに“作用”を及ぼすと同時に，ｂはａに，“ａの進行を妨げられたことによって，作用に逆らいａの進行を維持しようとする力”(endeavour, ラテン語でcornatusのこと)を生み出すといっている。この力endeavour又はcornatusは一種の“妨げられた力”(impeded force)であり，“妨げられる限りにおいての力”(a force in so far as it is resisted)と定義しており⁽¹⁰⁾，ａの進行が妨げられたことによりその妨害に抵抗して生じた“物体ａの力”なのである。そして物体ａ内でindeavourとendeavourが相対立する矛盾として把握されているのである。このendeavour又はcornatusの概念こそ，私のいう慣性抗力を表現したものである。かくして，外力（この力は力としては全く運動学的要素をも含んでいない）と慣性抗力（この力は純粋に運動学的要素のみに依存して決まり，内にこもったままの力である）とが，全く異質な力でありながら，一つの物体内で相対立する矛盾を構成しているのである。

　また，作用・反作用の法則は初期ニュートンの運動物体の衝突の研究の中から発見されたものである。すでにニュートンは当時の手稿folio 11の7で，“…(ａ)が(ｂ)に追いついてもそれらの運動[の総量]は失われない。というのは(ａ)は(ｂ)が(ａ)を押すのと[同じ大きさで(ｂ)を]押し，そしてそれゆえ(ｂ)の運動は(ａ)が減じた運動だけ増すだろうから”⁽¹¹⁾と述べている。つまり，2つの物体が衝突しても運動量の総和が保存されるのは，作用と反作用とが等しく，減った運動量分だけ他で運動量増となるからだというわけである。この考えの根底には，2つの物体が衝突するとき，それらの間にあるばねのような運動によってはね返され，ばねが押し縮められた分だけ元に戻ろうとするendeavour又はcornatusの概念があったことは注目に値する(folio. 10�D5)⁽¹²⁾。このendeavour又はcornatusの概念は『プリンキピア』の法則�V（作用・反作用の法則）にも次のようにあらわれている。

 

…馬が綱に縛りつけられた石を引くとき,馬もまた[そういってよければ]等しく石の方に引き戻される｡なぜなら，張りつめられた綱は，両端においてそれをゆるめようとする同じだけのコーナートゥスによって，石を馬の方に引くのと等しく馬を石の方に引き，一方の進行を助けるのと同じだけ他方の進行を妨げるであろうからである。⁽¹³⁾

 

　このようにここではcornatusの概念が，衝突において生ずる物体の力としての慣性抗力ばかりでなく，ばねの伸びや縮みを元に戻そうとする傾向にまで拡張されており，そのことがかえって静力学においても作用・反作用が成立するという発見につながったものと思われる。しかし，加速度運動に抵抗して生ずる慣性抗力（純粋に運動学的力）と，弾性変形を元に戻そうとする傾向との区別がつけられていないのはニュートンの弱点でもあった。

 

 

　４　慣性抗力を外力として対象化する機構

 

　慣性抗力は慣性力と同様に相互作用の力ではない。だからといって実在しないみかけの力と断定するのは飛躍である。慣性抗力は衝突などごくありふれた運動物体の力の相互作用の過程で現実には実在のものとして機能しており，力の相互作用はアプリオリに成立するものではなく，かえって潜在的な慣性抗力の実在こそが力の相互作用を成立させる根拠となっているのである。

　運動する２つの物体が衝突する過程で，今まで分析してきた力と慣性抗力とはどう位置づけられ関連づけられているのかを見てみよう。

　図２のように，物体ＫとＫ' の直衝突で，衝突直前の時刻ｔ₁の状態Ｋ₁，Ｋ₁' ではそれぞれ速度ｖ₁，ｖ₁' (ｖ₁＜ｖ₁' )で走っており， 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

衝突直後の時刻ｔ₂の状態Ｋ₂，Ｋ₂' では速度ｖ₂，ｖ₂' になったとしよう。運動量保存の法則を前提にすれば

 

　　　　　　−(ｍ'ｖ₂'−ｍ'ｖ₁')＝ｍｖ₂−ｍｖ₁………………�@

 

　この式は「衝突によってＫが得た運動量（右辺）はＫ' が失った運動量（左辺）に等しい」ということを示している。この両辺を衝突に要した時間(ｔ₂−ｔ₁)で割ると

 

　　　　　　　　　　　−ｍ'ａ'＝ｍａ　　　　 ………………�A

 

が得られる。

　�Aの等式の意味を考えてみよう。Ｋ' は衝突によってＫからｆ' (ｆ' ＜０；図３の左向き) の力をうけａ' (ａ' ＜０；図３の左向き)の加速度運動をする。これを式で書くと

 

　　　　　　　　　　　　ｆ'＝ｍ'ａ'　　　　　………………�B

 

　これに対して，�A式の左辺−ｍ'ａ' (＞０；図３の右向き)は，ｆ' の力と反対向きであることに注意を要する。つまり，−ｍ'ａ' は失う（他に放出する）運動量の時間的変化率を表しているが，この放出率に相当する適切な言葉がない。これは力と同じ次元を持つものであるが，相手に対する作用としての力ではなく，内的なものである。そこでこれを慣性抗力と呼ぶわけである。(この慣性抗力が，Ｋ' と同じ加速度ａ' の加速度系から見たときに生ずる慣性力と異なるものだということは次節で論じる。）

  このように考えると，�Aの等式は，「衝突でＫ' に生じた慣性抗力−ｍ'ａ' は，Ｋに働く力ｆ (ｆ＝ｍａ)に等しい」ということができる。即ち自ら表わすことのできない慣性抗力−ｍ'ａ' を他の物体Ｋにｆとして対象化することによってのみＫ' の慣性抗力を顕在化して表現できるのである。（図３)^(＊)

　つまり，これを式で表わすと

 

　　　　　　　　　　　　　−ｍ'ａ'＝ｆ　　　　 　…………�D

 

　　　^(＊）これはちょうど，マルクスの『資本論』における，リンネル＝上着という等式において，リンネルはその価値をリンネルで表現することができず，リンネルの価値が上着の使用価値で表現されるのと同じである。

 

　一方では，Ｋ'の慣性抗力−ｍ'ａ' がＫにｆ の力として対象化されれば，Ｋは速度変化をし−ｍａの慣性抗力をうみだす。そしてこれがＫ'にｆ' の力として対象化される。すなわち

　　　　　　　　　　　　　−ｍａ＝ｆ'            …………�E

 

　こうして，�A式は            ｆ＝−ｆ'          …………�F

 

となる。これは作用反作用の法則を表わしている。このように力の相互作用はアプリオリに成立するものではなく，慣性抗力の対象化の機構があって初めて成立するものである。

　さて，加速度運動している物体Ｋに着目するとき，外部から加えられた力ｆと内部から発生する慣性抗力−ｍａは全く異質の力でありながら，同一物体（Ｋ）内にあって相対立する矛盾をなしていることがわかる。そしてＫに働く外力ｆを取り去れば，当然慣性抗力−ｍａも消滅する。つまり，力と慣性抗力の矛盾も消滅するわけである。^(＊＊)

 

　　　^(＊＊）これはちょうど，一商品には使用価値と価値があり，使用価値が価値から全く独立に決まる物の有用生−自然的属性−であるのに対し，価値には全く自然的属性が入っておらず，その価値対象性は純粋に社会的なものであり，価値は商品と商品の社会的関係のうちにしか現われえないものである。そしてこの使用価値と価値が一商品の中にあって矛盾を構成しているのと同じである。

 

　したがって，力学的運動における基本矛盾は，同一物体内に働く力と慣性抗力の相対立する内部矛盾であると結論づけることができる。

 

 

　５　加速度系に生ずるいわゆる‘慣性力’

 

　図４のように物体Ｋ（質量ｍ）がバネを介してａの等加速度運動をしている車Ｋ'にとりつけてあるものとする。このとき，バネは自然長より伸びているが，この伸びはどのようにして生じたものだろう。車がバネをＦの力でひっぱれば，物体がバネを−Ｆの力でひっぱるからバネは伸びる。ところで，物体はどうしてバネを−Ｆでひく力を出しえたのか。この力の大きさは，物体の慣性質量が大きいほど大きく，車の加速度ａが大きいほど大きくなる。

つまり，ｍ(−ａ)なる量（慣性抗力）がバネに外力−Ｆとして対象化されたのである。このように物体の慣性抗力がバネに外力として対象化されてしまえば，バネはつりあう（バネの質量は０とする）。これは静力学で確立された力のつりあいと何ら変わりがない。⁽¹⁴⁾

　いま，物体Ｋと車Ｋ'の間のバネを取りはずしたとしよう。この瞬間からＦ＝０，したがって−ｍａ＝０，つまり，外力が消滅すれば慣性抗力も消滅し，矛盾も消滅する。

　ところで，バネを取りさった状態を図５（Ａ）のように加速度運動をしている系Ｋ'からみると，Ｋには通常の意味のいわゆる‘慣性力’が生ずる。しかし，Ｋはバネから切り離されており，相互作用する相手がない。これがいわゆる‘慣性力’である。

　図５(Ｂ)の場合（慣性系Ｌからみた場合）は，バネが物体Ｋに及ぼす力Ｆに抗してＫ内から慣性抗力−ｍａが自己の運動を否定している。これは本来潜在的なもので表わしようのないものだが，幸いバネにつながっているので，バネに自分の内的力を外的力−Ｆとして対象化する（図４）ことによって，自己の存在を顕在化して表現できるのである。

　図５(Ｃ)のように全く(Ｂ)と同じ出来事を加速度系Ｋ'から観測したとしよう。このとき，(Ｃ)に生ずる‘慣性力’は(Ｂ)の慣性抗力にたいして何か本質的違いでも生じたろうか。共に，大きさ−ｍａでＫに生じ，Ｋに働いている力であるという点では何の違いも認められない。両者の違いは観測系の違いによって生ずる。(Ｂ)の場合の慣性抗力は純粋に運動学的に規定される力であり，加速度系内Ｋから自己否定していて観測者のいる慣性系Ｌには決して顕在化して現われない内的力である。しかし，この慣性抗力は純粋に運動学的要素(−ａ)のみに規定されるがゆえに，この運動学的要素を否定すれば(加速度ａの系からみれば)，慣性抗力からは一切の運動学的要素が消え去ってしまう。だから(Ｃ)の場合の‘慣性力’は慣性系Ｌから加速度系Ｋ'にうつるという運動学的操作をしただけで運動学的要素が一切消え去ってしまった力となる。つまりＫ'にいる観測者にとっては‘慣性力’は明確に顕在化した力であり，それ自体外的力として機能している。だから−ｍａとＦはつりあうのである。要するに今まで慣性系Ｌから見て純粋に運動学的に規定された内的力が観測系を加速度系Ｋ'に変えただけで運動学的要素が一切消え去り外的力に転化するのである。したがって我々が‘慣性力’とよんでいるこの力は慣性力とよぶにふさわしくない。なぜならこの力からは一切の運動学的要素が消え去ってしまっているからである。

　このことは物質の質量についても同じである。図５(Ｂ)のように，いままで，純粋に運動学的に規定される慣性質量(「加速度を与えて初めて認識されかつ規定される量」) であったものが，図５(Ｃ)のように観測系を加速度系Ｋ'に変えただけで運動学的要素が一切消え去ってしまった質量に転化している。なぜなら，図５(Ｃ)において，Ｆと−ｍａはつりあっている力であり，この場合のｍやａは運動学的要素と関係なしに決まる量だからである。この質量が万有引力の源としての質量であることが明示されないかぎり，重力質量だという必然性はない。しかし，一般に質量は慣性質量と重力質量の２種類しか考えられず，この質量は運動学的要素に一切関係なく規定される質量でありかつこの質量に比例した静力学的力（形の上では重力と区別がつかない）を生ずることから重力質量と全く区別することが不可能である。このことを明確に原理として位置づけたのがアインシュタインの等価原理である。慣性抗力（運動学的力）が加速度系Ｋ'からみれば外的力（静力学的力）に転化したとしても，それが重力と同じものとみなしていいものかどうかはアインシュタインの等価原理をまたねばならない。等価原理によれば，Ｋ'からみた質量は重力質量であり，いわゆる‘慣性力’はこの重力質量に作用しこれに比例した静力学的力であり，重力と区別がつかない力である。

　このようにみてくると，静力学的力と慣性抗力，重力質量と慣性質量は同一のものでありながら観測系をかえたために生ずる現われ方の違いにすぎないものとなる。しかも観測系をかえればこれらは相互に入れ代わるものなのである。

　さて，図５(Ｃ)における‘慣性力’が他の何物かとの間で相互作用の力となっているかどうかは一応別におくとしても，実在の力であることは疑うべくもない。

 

　ニュートンがこの‘慣性力’をみかけの力としたのにはそれなりの理由があった。彼のみかけの力と絶対空間導入の論理を要約すると次のようになる。

(１) Ｆ＝ｍａにおける外力Ｆは運動にたいして独立した概念，つまり運動にたいして絶対的であり，かつ相互作用の力であること

(２) ところが，絶対的力Ｆ＝０のときでも慣性の法則ａ＝０が成立しない座標系の取り方がある（加速度系）。このような座標系では運動方程式は成立しない。

(３) 運動方程式が成立する座標系（慣性系）ではガリレイの相対性原理が成り立つ。ここでは相対運動，相対空間しか認められないが，運動方程式が成立しない座標系では絶対空間にたいして絶対運動していることになる。

(４) したがって，加速度系に生ずるみかけの力（相互作用の力でない）の発生で絶対運動が識別できる。だから回転座標系の遠心力の発生が絶対空間の存在を証拠立てる。

　このように要約してみると，(１)の外力についての明確な概念を築いたことは，ニュートンの最も基本的な成果であった。しかし，(３)(４)の絶対運動，絶対空間の存在をめぐって，バークレー，マッハ等が猛烈な批判をあびせたのは衆知の事実である。マッハは(１)の外力まで否定してしまった。

　(２)〜(４)にたいする正しい回答はアインシュタインによって与えられた。つまり，加速度系に生ずる慣性力は(１)でいう外力との違いが全く認められないということ；したがって，(２)は「いかなる座標系においても，ａ＝０なら，外力（いわゆる‘慣性力’を含む）Ｆ＝０，加速度系においても運動方程式は成立する」と書き換えられるということ；そして，(３)の絶対運動，絶対空間の根拠は完全に失われるということが明らかにされたのである。

　ここで特に注意を促しておきたいことは，‘慣性力’が，加速度系から見るという運動学的操作によって生ずる力であるにもかかわらず，加速度系から見る限り一片の運動学的要素も含まれていない静力学的力であるということである。通常，‘慣性力’は静力学的力と異質な力，加速度運動をする系に伴って生ずるために運動学的力と理解されているようであるが，これは誤りである。仮に‘慣性力’を運動学的力とするなら，アインシュタインの等価原理は崩れてしまうことになる。

　私の主張の根幹は，静力学的力と全く異質な，純粋に運動学的要素のみに規定される慣性抗力が存在するということであり，それがたとえ顕在化していなくても立派に物理的機能を果たしているということである。そして，相互作用があるとき，この慣性抗力は力の相互作用に根拠を与え，他の物体に静力学的力として対象化することによって自らを顕在化する。一方においては純粋に運動学的な慣性抗力を完全に運動学的に否定すれば，一切の運動学的要素が消え去り，静力学的力として顕在化するのである。つまり，‘慣性力’が静力学的力となる根拠は，慣性抗力が存在し，その運動学的部分を否定するからなのである。

　                                 

 

　６　万有引力と慣性抗力

 

　さて，今までの分析を万有引力の場合に適用してみよう。万有引力は次のような特徴をもった力である。

(１) 相互作用の力であるが，衝突の場合と違って直接物体が接していなくても相互作用は成立する。

(２) 万有引力の大きさは，物体の重力質量に比例して決まる，つまり‘慣性力’が物体の質量に比例して決まるのと同様，特異な性質をもっている。

(３) 万有引力は，相互の物体の運動学的要素に一切関係なく両者の間の距離さえ分かれば決まってしまう力である。

  ここで，純粋に運動学的に決まる量には添字_iを，運動学的要素に一切関係しない量には添字_gをつけて表すことにし，２物体Ｋ，Ｋ'（質量ｍ，ｍ'）に働く万有引力と，Ｋと同じ加速度運動をする別の系Ｌから見た万有引力とを比較してみよう。（図６）

　図６(Ａ)の場合，Ｋが万有引力ｆ_ｇ

 

　　　　　　　ｆ_ｇ＝ｍ_ｇａ_ｇ　　（ａ_ｇは比例定数）　　… �@

 

を受けたことにより，Ｋに生ずる慣性抗力−ｍ_iａ_iはＫ'にｆ'_ｇ(＜０）として対象化される。

 

              −ｍ_iａ_i =ｆ'_ｇ                      　… �A

 

 一方図６(Ｂ)のように系Ｌ（加速度ａ_i）から同じ万有引力を見ると，万有引力ｆ_ｇと顕在化した慣性力−ｍ_ｇａ_ｇとはつりあっている。                                    

 

            −ｍ_ｇａ_ｇ ＋ｆ_ｇ ＝０                  … �B

 

　ところで，万有引力は

 

              ｆ_ｇ ＝−ｆ'_ｇ ＝Ｇｍ_ｇｍ'_ｇ /ｒ²         … �C

 

  �Cを�Bに代入して

 

              −ｍ_ｇａ_ｇ ＝−Ｇｍ_ｇｍ'_ｇ /ｒ²

 

           ∴     −ａ_ｇ＝−Ｇｍ'_ｇ /ｒ²            　… �D

 

  �Dの結果は顕在化した慣性力の比例定数として導入された−ａ_ｇ が，Ｋ'の重力質量ｍ'_ｇ と距離ｒ，及び万有引力定数Ｇによって決まるということを示している。つまり，−ａ_ｇ はＫ'の重力質量ｍ'_ｇ がＫにかかわりなく作る新たに発生した‘重力場’の強さと考えることができる。これは，Ｋ'の重力質量ｍ'_ｇ がＫにかかわりなく，ｒ，Ｇとｍ'_ｇ だけに依存してできる場であるという点で，万有引力が作る重力場の強さ＋ａ_ｇと少しも違わない。ただ向きが反対になるという点だけが異なる。

　だから系Ｌから見た場合，−ａ_ｇ の重力場が新たに発生したのであり，万有引力が作る重力場＋ａ_ｇを打ち消すと考えてもよいし，−ａ_ｇの重力場がＫの重力質量ｍ_ｇに作用して，−ｍ_ｇａ_ｇの重力が新たに発生して，万有引力ｍ_ｇａ_ｇとで物体Ｋはつりあうとも考えられる。

　要するに，図６(Ａ)において万有引力の作る重力場＋ａ_ｇの存在を認めるならば，図６(Ｂ)において新たな重力場−ａ_ｇの発生を認めざるをえない。

　ところで，�A�Bと，ｆ'_ｇ ＋ｆ_ｇ＝０（作用反作用の法則）より

 

               −ｍ_iａ_i  =−ｍ_ｇａ_ｇ                 　… �E

 

 �Eの結果は

　（慣性系から見た慣性抗力）＝（加速度系から見て,新たに発生した重力）

となる。このことは純粋に運動学的に規定される慣性抗力が，観測系を変えただけで運動学的要素が一切消え去った外的力，新たに発生した重力に転化することを示している。

　さらに，慣性系からみた物体の質量は慣性質量ｍ_iであり（図６Ａ），加速度系からみた物体の質量は重力質量ｍ_ｇである（図６Ｂ）が，等価原理

            　     ｍ_i  =ｍ_ｇ

　（慣性系から見た慣性質量）＝（加速度系から見た重力質量）

を使えば，�Eは

          　     −ａ_i  =−ａ_ｇ                        … �F

　（慣性系からみた慣性抗力が生む加速度）＝（加速度系からみた発生重力場）

となる。つまり，物体Kの加速度運動をその内部から否定する慣性抗力が生む加速度は，加速度系における重力場の性質に帰着してしまうのである。

　このことから，静力学的力と慣性抗力，及び重力質量と慣性質量だけでなく，重力場の強さと慣性抗力が生む加速度も，同一のものでありながら観測系を変えたことによる現れ方の違いにすぎないものとなり，観測系を変えるだけで相互に入れ替わるものであることがわかるわけである。

 

 

                                 注

　

(1) 板倉聖宣“ニュートン力学の形成過程における力と運動”『科学と方法』（季節社）1969,p161

(2) 田中一“現代物理学−力学の弁証法−”『唯物論』第号,（汐文社）,1974.5

岩崎允胤・宮原将平“科学と唯物論”『唯物論』第22号（札幌唯物論研究会）1974.7

田中一“力学の弁証法”『唯物論』第23号（札幌唯物論研究会）1975.3　

   宮原将平“「力学の弁証法」へのコメント”『唯物論』第24号（札幌唯物論研究会）1976.1

(3) 菅野礼司“力学における矛盾概念について”『唯物論』第7号（汐文社）1977.3

(4) 前掲，p89

(5) もちろん万有引力とクーロン力は種類の異なる力であることに変わりはない。万有引力は質量が原因となって生じるもので質量を持ったものにしか作用せず,帯電体の質量部分に作用することはあっても,電気量に作用することはない。だから質的に同じというのは力を生ずる原因が何であれ,“力”としては同じということである。

(6) 菅野礼司“力学における矛盾概念について”『唯物論』（汐文社）第7号1977.3,p87

(7) 前掲　p88

(8) 前掲　p88

(9) 寺岡英男“ニュートン三法則を中心とした『力と運動』の指導“北海道大学『教育学部紀要』第25号，1975.12　p151~152

(10) John Herivel "The Background to Newton's Principia" Oxford University Press 1965 p55

(11) 吉仲正和“初期ニュートンの衝突論”『科学史研究』1977, NO.121 p57

(12) 前掲　p57

   John Herivel "The Background to Newton's Principia" Oxford University Press 1965 p137~138

(13) ニュートン『自然哲学の数学的諸原理』河辺訳（中央公論社）p73

　 "Principia" Motte's Translation Revised by Cajori, University of California Press, p14

(14) ばねの質量が無視できない場合は,ばねの両端にかかる力の合力でばねはaの加速度運動をする。